공부

Exponential Functions Any function of the form \( f(x)=b^x,\ where\ b>0, b\neq 1 \) is an exponential function with base \( b \) and exponent \( x \) . Exponential functions have constant bases and variable exponents. Note that a function of the form \( f(x)=x^b \) for some constant \( b \) is not an exponential function but a power function. ※ Evaluating Exponential Functions If \( x \) is a po..

Existence of an Inverse Function Given a function f and an output y = f(x), we are often interested in finding what value or values x were mapped to y by f. For example, consider the function f(x) = x + 4. Since any output y = x +4, we can solve this equation for x to find that the input is x = y - 4. This equation defines x as a function of y. Denoting this function as f^−1, and writing x = f^-..

Radian Measure Although we can use both radians and degrees, radians are a more natural measurement because they are related directly to the unit circle, a circle with radius 1. Given an angle θ, let s be the length of the corresponding arc on the unit circle. We say the angle corresponding to the arc of length 1 has radian measure 1. Since an angle of 360° corresponds to the circumference of a ..

Linear Functions and Slope Linear functions : functions which have the form f(x) = ax + b, where a and b are constants Slope : the change in y for each unit change in x(this ratio is independent of the points chosen), measurement of both the steepness and the direction of a line We conclude that the formula f(x) = ax + b tells us the slope, a, and the y-intercept, for this line. Sometimes it is ..

Functions Elements : input(independent variable), output(dependent variable), Sets : domain(set of inputs), range(set of outputs) Rule for assigning each input to exactly one output : relation from domain to range ※ Expression of sets with an infinite number of elements 1. Set-builder notation : {x l 1

[1] Non-dimensionalized form (1) Dimensional form(유차원 형태) 보다 Non-dimensionalized form (무차원 형태)로 문제를 해결하는 것은 몇가지 장점을 가짐. (1-1) controlling parameters는 일반적으로 단위가 존재하는 유차원 형태이나, 이들을 묶어 무차원 형태로 변환하게되면 보다 일반적인 결과를 얻는 것이 가능해짐. (1-2) 또한 continuum scale에서 lattice scale로 변환하기 수월한 장점이 있음(서도 다른 두 스케일에서도 무차원 상수는 값이 동일해야하기 때문에 이를 활용하여 변환 함). (2) 아래는 온도 확산 방정식을 예로, 무차원 형태로 변환하는 과정을 보여줌.

[1] Macroscopic parameter와 microscopic parameter의 관계 (1) 5.2에서 유도한 FDM 수식화에서, 확산 계수와 같은 거시적 파라미터를 수식에서 확인하는 것이 가능함. (2) 하지만 5.3에서 유도한 LBM 수식화에서는 이러한 파라미터를 확인할 수 없음. (3) LBM 수식화가 우리가 관심있는 거시적인 확산 현상을 모사하기 위해선 이 둘 간의 관계를 긴밀하게 해줄 수 있는 관계식이 요구됨. (4) Chapman-Enskog Expansion은 이러한 거시적/미시적 스케일 간의 관계를 보여주며, 보다 정확하게는 LBM 파라미터와 FDM 파라미터간의 관계식을 유도하는데 활용됨. (5) 아래는 Chapman-Enskog Expansion 유도 과정을 보여줌.

[1] 격차 볼츠만법(LBM) 유도 (1) 확산 방정식을 풀이하기 위한 LBM 수식화는 다음과 같이 유도됨.

[1] 유한 차분법(FDM) 유도 (1) 다음은 확산 방정식을 풀이하기 위한 1차원 유한 차분법 수식화 유도 과정을 보여줌. (2) 여기서 사용된 유한 차분법은 explicit하게 각각의 term을 계산할 수 있으며, 미분항을 근사하기 위하여 central difference scheme을 적용하였음.

[1] Diffusion equation and control parameter (1) 5장에서 확산 방정식을 풀이하기 위한 LBM 수식화를 다룸. (2) LBM 결과를 일반적인 CFD 방법의 한 종류인 FDM 결과와 비교 함. (3) enery, species(mass), momentum에 대한 확산 방정식을 표현할 수 있고, 기본 형태는 아래와 같음.